Для чего в тригонометрии нужны радианы? Для чего вообще радианы нужны?

Это одна из мер углов. Вы же не имеете ничего против миль?:)

Математика имеет дело с безразмерными величинами, а градусы оставим для застолья.

А не задумалась для чего Тригонометрия?
Если всю жисть торговать на рынке

Один радиан — это дуга единичной окружности, равная единичному отрезку. Попробуйте это нарисовать (проставив на рисунке единички по осям координат и рядом с дугой в 1 радиан) и сразу всё поймёте. Работая с радианами, мы по сути оперируем не углом, а длиной дуги, причём выраженной в тех же единицах (радиан выражается через отношение длин, а потому безразмерен), что и тригонометрические функции. Это очень удобно для практики.