Помогите понять разницу между арифметическим корнем и просто корнем...

Арифметическим называется не корень, а ЗНАЧЕНИЕ. "Арифметическое значение корня", так это называется. И, по определению, за арифметическое значение корня из ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО числа принимается также ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ число, квадрат (или какая-то другая ЧЁТНАЯ степень) которого равна исходному числу.
Такое определение вводится потому, что и отрицательное, и положительное число, будучи возведёнными в квадрат, дают одно и то же значение. А математики любят иметь дело с взаимно однозначными операциями. Обычное извлечение корня не является взаимно-однозначной операцией с возведением в квадрат, раз одному значению функции могут соответствовать два значения аргумента (с чётными и с периодичесими функциями это всегда так...) . Поэтому и вводят понятие арифметического значения - при этом обратная операция становится однозначной: каждому числу соответствует единственное значение корня - положительное (по определению) .
Если же извлекается корень НЕЧЁТНОЙ степени (кубический корень из -8, к примеру) , то такая операция является взаимно-однозначной, и нужды вводить понятие арифметического значения просто не возникает.