даны координаты вершины тетраэдра A(7,5,8), B(-4,-5,3), C(2,-3,5), D(5,1,-4). Найти (с помощью векторов).

а) объем площади тетраэдра - это Вы сильно сказали :-)). Объем тетраэдра, вершинами которого являются точки с координатами: А (а1, а2, а3), B(b1, b2, b3), C(c1,c2,c3) и D(d1,d2,d3) вычисляется по формуле:
V = (1/6)*DET
где DET - это определитель матрицы:
1 a1 a2 a3
1 b1 b2 b3
1 c1 c2 c3
1 d1 d2 d3
б) площадь треугольника, построенного на векторах А (а1, a2, a3) и В (b1, b2, b3) равна модулю (длине) вектора, получившегося из векторного произведения [AxB]. Для нахождения этого вектора, составляем матрицу векторного произведения:
i j k
a1 a2 a3
b1 b2 b3
и раскладываем ее по первой строке. Алгебраические дополнения к числам i, j, k равны соответствующим координатам получившегося вектора. Находите его модуль, получаете площадь треугольника.
в) Высота, проведенная к грани BCD есть расстояние от точки А до плоскости, которой принадлежит эта грань.
Найдем уравнение плоскости, пользуясь свойством смешаного произведения векторов - смешанное произведение компланарных векторов равно 0. Найдем координаты вектора ВС (2 + 4 = 6, -3 + 5 = 2, 5 - 3 = 2) и вектора BD( 5 + 5 = 9, 1 + 5 = 6, -4 - 3 = -7).
Далее возьмем произвольную точку на плоскости X(x, y, z) и найдем координаты вектора ВХ (х + 4, у + 5, z - 3)
Теперь составим матрицу смешанного произведения данных векторов. Т. к. вектора компланарны, то ее определитель равен 0:
х+4 у+5 z-3
6 2 2
9 6 -7
Разложив этот определитель по первой строке и раскрыв все скобки и приравняв получившееся выражение к 0, вы получите уравнение, вида:
ax + by + cz + d = 0
Это и есть уравнение искомой плоскости. Расстояние от точки A(7,5,8) до этой плоскости вычисляется по формуле:
L = |a*7 + b*5 + c*8 +d|/sqrt(a^2 + b^2 + c^2)
Успехов!