Что такое «восточный вопрос» и каким образом он затрагивал Российскую империю?

Восточный вопрос — комплекс международных конфликтов конца XVII — начала XX веков, связанных с контролем над святыми местами в Палестине, а также с борьбой христианских (преимущественно православных) народов Османской империи за обретение независимости и с соперничеством великих держав (России, Австрии, Великобритании, Франции, позже Италии и Германии) за раздел слабеющей Османской империи.
Возникновение понятия "восточный вопрос" относится к концу XVIII в. , хотя сам этот термин был введен в дипломатическую практику в ЗО-е годы XIX в.
Три основных фактора обусловили возникновение и в дальнейшем обострение восточного вопроса:
1) упадок некогда могущественной Османской империи,
2) рост национально-освободительного движения против османского ига,
3) обострение противоречий между европейскими странами на Ближнем Востоке, вызванных борьбой за раздел мира. Упадок Османской империи и рост среди подвластных ей народов национально-освободительного движения побуждали великие европейские державы к вмешательству в ее внутренние дела, тем более что ее владения охватывали важнейшие в экономическом и стратегическом отношении регионы Ближнего Востока: Суэцкий перешеек, Египет, Сирию, Балканский полуостров, черноморские проливы, часть Закавказья.

Для самой России восточный вопрос в первую очередь был связан с обеспечением безопасности ее южных границ и хозяйственным освоением юга страны, с интенсивным ростом торговли через черноморские порты.
Россия опасалась также, как бы распад Османской империи не сделал ее легкой добычей более сильных европейских держав.
Поэтому она старалась укрепить свои позиции на Балканах, чтобы помешать их экспансии в этом регионе.

Подробнее см. ссылка - Восточный вопрос
См. также ссылка - Русско-турецкие войны