Предельная и граничная точка

Question

Предельная и граничная точка

Миша Фирсов Профи (668), закрыт 12 лет назад

Честно, формулировку вопроса стырил. Проблема точно такая же, думаю и учебник тот же.

Всем доброго времени суток.

B одном из учебников встретил следующее определение передельной точки:
Точка х называется предельной точкой множества A, если в любой ee окрестности найдется бесконечно много точек принадлежащих множеству A.

B качестве примера приводится интервал ( a, b ) для которого точки a и b являются предельными.
Далее сказано, что множество, содержащие все свои предельные точки называется замкнутым множеством.

Ho, я думал, что замкнутым называется множество содержащие все свои граничные точки, т. e. точки в любой окрестности которых есть точки как принадлежащие рассматриваемому множеству, так и точки ему не принадлежащие.

Получается, что понятия граничной и предельной точки эквивалентны?
Что-то я запутался.. . Если возможно объясните, пожалуйста, на примерах.
Типа вот такое множество, вот такие у него внутренней точки, вот граничные, вот предельные...

Answer 1

Предельная точка - это точка, любая проколотая окресность которой соприкасается с множеством. Например, в этом примере внутренняя (a+b)/2 вполне себе предельная. У множества изолированных точек {1,2,3} в R предельных точек нет. Не путать с тем случаем, когда мы дискретном пространстве - тогда окресностями 2 будут {1,2},{2,3},{1,2,3} - вполне себе пересекаются. Но в дискретном пространстве считается, что предельных точек нет.
Граничные точки множества А составляют границу множества dA. Это точка, в окресности которой есть как точки из нашего множества, так и посторонние. Т. е. для любой окресности пересечения как с А, так и с! А непусты. Граничными точками (а, b) будут {a} и {b}.
http://www.bodrenko.org/topology/index1,5.html
Множество замкнутое тогда и только тогда, когда содержит свою границу. - теорема.
А множество, содержащее все свои предельные точки называется замкнутым - определение (или тоже теорема) .
Граничные точки - более узкий класс.
http://ru.wikipedia.org/wiki/Граница_(топология)

Answer 2

Понятия граничной и предельной точки разумеется не эквивалентны, и по твоим рассуждениям видно, что и ты сам это понимаешь. Например, для множества точек прямой левая граничная точка - это точка, левее которых нет точек. Но самая левая точка не обязательно предельная, хотя могла быть и предельной для монотонно убывающей последовательности точек (кстати, такое множество имеет предельную точку, но не имеет левой граничной точки) . Ясно, что множество точек прямой будет замкнутым, если для него существуют левая и правая граничные точки, но не всегда граничная точка существует (как в моём примере) .
А вот если все предельные точки принадлежат некоторому отрезку, то за его пределами остаётся ОГРАНИЧЕННОЕ ЧИСЛО ТОЧЕК, СРЕДИ КОТОРЫХ ОБЯЗАТЕЛЬНО БУДЕТ САМОЕ ЛЕВОЕ И САМОЕ ПРАВОЕ, а значит множество будет замкнутым. Только мне кажется, это не определение, а теорема...

Answer 3

дима ковтун Ученик (130) 4 года назад

.