Бруклин это отдельный город или это часть Нью-Йорка?

Это район Нью-Йорка. Но т. к. до 1898 года это был отдельный город, в нем до сих пор сохранились свои названия улиц, часто совпадающие с Манхэттеном (там есть свой Бродвей, есть своя 5-я авеню, есть улицы с теми же номерами, что и манхэттенские) . Поэтому для почты США это отдельный город и в почтовом адресе надо указывать не Нью-Йорк, а Бруклин. То же самое относится к указанию адреса при поездке на такси, например.

И да, кроме Бруклина, штат Нью-Йорк, есть еще Бруклин в Коннектикуте, Бруклайн рядом с Бостоном и, наверное, еще куча других городов с тем же названием. :)

смотря какой Бруклин

Короче википедия про бруклин знает...