Как по другому сказать доброе утро?

Это - современная форма, калька с аналогичных выражений в других языках.
"Исконно" по-русски раньше было "С добрым утром! "
Есть разница в оттенках:
"Доброе утро" - звучит как утверждение, что утро хорошее.
"С добрым утром" - имеет смысл поздравления с хорошим началом дня.

Аналогично, вместо прежнего "классического" приветствия "Здравствуйте! "
часто говорят "Добрый день! ". Здесь разница еще более заметна:
старое приветствие означало личное пожелание здоровья, новое - безличная
констатация того, что этот день хороший (вообще, для всех) .

Если вдуматься, то пожелание "Доброй ночи", скопированное из других языков
("Good night" - англ, "Gute Nacht" - нем, так же в франц, итал. и др.) , кажется
несколько странным, в то время, как прежнее русское пожелание "Спокойной ночи"
имело более точный смысл - пожелание спать спокойно, без помех.