Пустят ли в Финляндию на машине без прописки в Российском паспорте? Из старой квартирки выписались, а в новую ещё нет!

В загранпаспорте Ваша прописка не фигурирует: )

Шенгенская виза есть? Если не просроченная - езжайте спокойно, прописка никак не повлияет (Ваш внутренний российский паспорт никто, на границе, смотреть не будет)