После ликвидации машины в ГАИ, как заново присвоить себе права на неё?

Никак.

Приказ МВД РФ № 1001 "О порядке регистрации ТС":
п. 13. ..Не производится восстановление регистрации транспортных средств, снятых с учета на основании соответствующих документов в связи с утилизацией (списанием).