Как вычислить площадь поверхности эллипсоида?

Площадь поверхности эллипсоида общего вида вычислить аналитически, т. е. задать функцией трёх полуосей эллипсоида нельзя. Так же, как и нельзя задать формулой длину эллипса.
Общая формула для вычисления площади поверхности эллипсоида общего вида с полуосями a > b > c такова

Эллиптические интегралы не берутся в элементарных функциях, для их вычисления нужно пользоваться численными методами интегрирования, либо таблицами.
Если a = c, то формула не имеет смысла. В этом случае мы имеем эллипсоид вращения (a = c > b)

Также площадь поверхности эллипсоида можно вычислить приближённо по формуле:

Если взять p = 1.6075, то максимальная относительная ошибка будет равна 1,061%. Для простоты вычислений можно взять p = 2 или даже 1.
Наконец, если все три измерения эллипсоида равны (a = b = c = r), то эллипсоид является сферой и его площадь вычисляется по простой формуле
S = 4πr^2