Чем отличаются заявка и заявление и как они звучат на английском?

Сочетаемостью. Заявка подразумевает требование (пусть даже в мягкой форме) , а заявление - просьбу (пусть даже выраженную косвенным образом)

to make request for smth. — сделать заявку на что-л.
samples may be sent on request — образцы высылаются по заявке
а requisition for materials /for supplies/ — заявка на материалы

an application for the position [for the job] — заявление о зачислении на должность [о приёме на работу]
my application for a change of department was acceded to - моё заявление о переводе в другой отдел было удовлетворено