Дифференцируемость и непрерывность функции.
Если функция дифференцируема, значит она непрерывна. Если функция непрерывна, еще не значит, что она дифференцируема.
Приведите пожалуйста пример функции, которая была бы непрерывна и не дифференцируема
Вот примеры функций, которые всюду непрерывны, но в
точке х=0 не имеют производной:
1) у=x^(1/3),
2) при х =/= 0, у=x*sin(1/x),
а при х=0, у=0.
Любая пила недифференцируема в точках излома линии зубцов. Хуже того, есть функции, которые непрерывны, но ни в одной точке не дифференцируемы, но это наглядно вообразить сложнее.
Функция y=|x| игрек равно модуль икс - непрерывна.
Но в точке x=0 в ней нет гладкой касательной. Там как-бы "разрыв" производной. Или она неопределена. Или не существует. Как будет угодно.
см. книжку Олмстед, Гелбаум - Контрпримеры в анализе. Там приводятся примеры таких функций.
