Mail.ruПочтаМой МирОдноклассникиВКонтактеИгрыЗнакомстваНовостиПоискОблакоVK ComboВсе проекты

Задачка по математическому анализу с первого курса.

Aлексей Медведев Гуру (3985), закрыт 14 лет назад
Разлагая многочлен (1+х)^2n по степеням переменной х двумя способами, для любого натурального n докажите тождество

[сумма от 0 до n](C[из n по k])^2 = C [из 2n по n]

В квадратных скобках написал то, что не смог записать в строчку: значок суммы и верхний и нижний индексы. Кто может решить, дайте идею. :)
Лучший ответ
Харитонова Наталья Знаток (443) 14 лет назад
Это не сложно. Просто надо попытаться понять... Вряд ли есть способ решить проще.
C1) Воспользуемся разложением бинома Ньтона: (1+х)^n = [сумма от 0 до n] ([С из n по k]*х^k). Разложим по этой формуле (1+х)^2n и посмотри, какой коэффициент будет при х^n. Это будет аккурат C [из 2n по n]
2) Теперь рассмотрим (1+х)^2n как (1+х)^n * (1+х)^n - произведение двух одинаковых скобок. И каждую из этих скобок разложим опять по биному Ньтона. Получается:
(1+х)^2n = (1+х)^n * (1+х)^n = (1 + (С из n по 1)*х + (С из n по 2)*х^2 + .+*х^n) * (1 + (С из n по 1)*х + (С из n по 2)*х^2 + .+*х^n). И теперь подумаем, какой коэффициент при х^n будет у многочлена, если мы честно перемножтм эти скобки. Один сомножитель должен быть из первой скобки, например, C[из n по k]*х^k. Тогда, т.к. суммарная степень х должна быть n, нужно из второй скобки взять слагаемое C[из n по n-k]*х^(n-k) = C[из n по k]*х^(n-k). Т.е. при перемножении один член будет выглядеть так (C[из n по k])^2 * х^n. Но это только один член, который образовался при взятии из первой скобки k-ого слагаемого. Значит, чтобы найти все коэффициенты при х^n после раскрытия скобок, надо проссумировать (C[из n по k])^2 от 0 до n по k.
3) Очевидно, что у (1+х)^2n и (1+х)^n * (1+х)^n должны быть одинаковые коэффициенты при х^n после раскрытия скобок. Значит, можно смело приравнять полученный в пункте 1) C [из 2n по n] и полученный в пункте 2) [сумма от 0 до n](C[из n по k])^2. Что и требовалось доказать.
Источник: студентка мехмата МГУ. :)
Остальные ответы
Липунюшка Гуру (4105) 14 лет назад
Ты чё, мехматовец, что ли? Тогда сходи на любой форум МФТИ, тебе там быстро раздуплят!
Похожие вопросы