Здравствуйте! Скажите, как должны приниматься заявления в управляющую компанию? Должны зарегистрировать? Выдать копию?

Пишете заявление, делаете с него копию, можно на ксероксе, можно в ручную написать два экземпляра и подаете эти два экземпляра секретарю. При этом говорите, что на втором экземпляре поставьте число и дату приема, подпись с расшифровкой лица принявшего ваше заявление. Кроме этого они могут поставить ещё и входящий номер.
Если принять отказываются или отказываются делать отмерку что приняли, то идете на почту и заказным письмом с уведомлением отправляете в УК.

Присоединяюсь к ответу АндрейКа . Ознакомьтесь - ПОСТАНОВЛЕНИЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА №354 ОТ 06.05.2011Г.» О ПРЕДОСТАВЛЕНИИ КОММУНАЛЬНЫХ УСЛУГСОБСТВЕННИКАМ И ПОЛЬЗОВАТЕЛЯМ ПОМЕЩЕНИЙ В МНОГОКВАРТИРНЫХ ДОМАХ И ЖИЛЫХ ДОМОВ» http://base.consultant.ru/cons/cgi/online.cgi?req=doc;base=LAW;n=134513См. IV. Права и обязанности исполнителя. 31. Исполнитель обязан: Цитата - к) вести учет жалоб (заявлений, обращений, требований и претензий) потребителей на качество предоставления коммунальных услуг, учет сроков и результатов их рассмотрения и исполнения, а также в течение 3 рабочих дней со дня получения жалобы (заявления, требования и претензии) направлять потребителю ответ о ее удовлетворении либо об отказе в удовлетворении с указанием причин отказа.