исчезли письма из папки "Входящие" и исчезают новые, полученные письма после того, как прочитаны и ящика закрыт

Очень. часто возникает ситуация, что при настройке почтовой программы не устанавливается галочка «Сохранять письма на сервере» , в результате чего все письма, имеющиеся в почтовом ящике, скачиваются на компьютер. Вы можете проверить это, поставив галочку «Показывать информацию о последнем входе в систему» в настройках https://e.mail.ru/cgi-bin/security почтового ящика. Наличие IP-адреса напротив "Вход по POP3" будет означать, что ваш почтовый ящик используются через почтовую программу.
Чтобы сделать папку недоступной по протоколу POP3, наведите курсор мыши на название необходимой папки и нажмите на значок «Настройки» . В появившемся окне установите галочку напротив «Недоступна для почтовых программ (POP3)» и нажмите «Сохранить изменения» .
Обратите внимание, нельзя скачивать письма почтовыми программами из папок «Отправленные» , «Черновики» и «Корзина» .
Посмотрите не стоит ли галочка напротив графы «Очищать папку Корзина при выходе» , иначе все письма, содержащиеся в данной папке, будут безвозвратно удалены после выхода из почтового ящика.

После внесения соответствующих изменений нажмите «Сохранить изменения» .
http://e.mail.ru/cgi-bin/editprofile

проверьте здесь - http://win.mail.ru/cgi-bin/editfwd , не установлена ли у Вас пересылка.. .
если она есть, и установлена Вами, отмените ее

если все установки выполнены, а письма продолжают удаляться, проверьте комп на вирусы и смените пароль

Удалённые с сервера письма, к сожалению, восстановить невозможно