Ставится ли запятая после "...с тем"? "Вместе с тем, он был довольно-таки не глуп. "

Без запятой, потому что

Большой толковый словарь:

Вместе с тем (в зн. нареч. ) =
в то же время, одновременно с этим; также.

Например:

Вместе с тем не следует забывать об опасности.

- ---

Подобный вопрос задавался на Грамоте. ру. Вот ответ

Ответ справочной службы русского языка:

Слова ВМЕСТЕ С ТЕМ не являются вводными и не требуют обособления. В приведенном контексте слова вместе с тем выступают в роли наречия (в других контекстах вместе с тем может быть союзом) .