однокоренные ли слова живность и переживший

Чтобы узнать корень, обратимся к словарю -

Морфемно-орфографический словарь:

жи́/в/н/ость/

пере/жи/вш/ий

Как видно, корень у них общий: -ЖИ-

Значит, они однокоренные