Можно ли ставить розетки без заземления в новом многоэтажном доме? Зачем оно вообще в розетках нужно? Для какой техники?

Про защитную роль правильно сделанного заземления Вам уже написали вполне доходчиво. Но заземление, сделанное недостаточно грамотно, может оказаться гораздо опаснее, чем полное его отсутствие.
Дело в том, что в отечественных электросетях отдельного, пятого, провода, совершенно отдельного от "рабочего нуля" и предназначенного специально для заземления, не бывает никогда. Вместо заземления делают "зануление" - на заземляющие контакты не задумываясь заводят нулевой провод трёхфазной сети. Ох, и било же меня током на работе при одновременном касании металлического корпуса научного прибора и отопительного стояка!. . Было это на рубеже 70х - 80х годов. Хотя электрохозяйство нашего НИИ обслуживала целая бригада электриков с инженерным образованием!. .
Наилучшее решение, реально применяемое в наше время - использование УЗО. В этом случае, при пробое на заземленный корпус токи по фазе и по нулю оказываются (немного, от силы на миллиамперы) различны и прибор немедленно автоматически обесточивается. Безопасность это даёт, но внезапное отключение оборудования создаёт свои проблемы. В нашей новой квартире УЗО поставлено одно на всю квартиру - где бы ни возник пробой, отрубается сразу всё, включая холодильник и комп.
Пожалуй, наиболее правильно - это ставить отдельные УЗО перед наиболее опасными приборами. У меня, например, в сетевой провод накопительного водонагревателя Ariston Shuttle УЗО встроено изготовителем. Весьма разумно: ведь если принимаешь душ, а вода в нём оказывается вдруг под напряжением относительно ванны - это, сами понимаете, реализует принцип действия "электрического стула"... Точно так же имеет смысл обезопасить прочие наиболее опасные устройства - хотя бы стиральную машину. Несмотря на то, что каждое УЗО стоит денег.