Что означает "цавт танем"? Это язык какой-то или что? И как на это обычно отвечают?

Армянский. Это распространенное выражение, знак очень хорошего отношения к Вам, большой нежности.
Дословный перевод "Заберу твою болезнь". Это не значит, что Вас считают больной. А подразумевается: "Возьму твои боли, переживания, всё что тебя беспокоит.. . на себя".
Кажется, на это никак не отвечают. Разве только, таким же хорошим отношением. :-)

Когда случилось жуткое Спитакское землетрясение в Армении, туда приехал Н. Рыжков (из правительства Горбачёва) . Он встречался с людьми, а у самого в глазах - слёзы. Вот одна старушка ему эту фразу тогда и сказала. По телику я видела.