подскажите, как правильно писать: с множеством или со множеством

Возможны оба варианта (см. пункт м) :

С -- перед словами на а, б, е, ж, и, н, о, п, р, у, ф, ц, ч, ш,
э, ю, я только "С".

Прочие начальные буквы ведут себя по-разному:

в) "с в+гласная", "со в+согласная" (вз, вк, вл, вн, вр, вс, вх) ;
исключения: "с властелином" -- но "со властью"; "с внутренней" --
но "со внутренностью", "со внешн... "; "с врагами/ов" -- но
"со времени/ем"; "со/с множеством", "с многочисленным" -- но
"со мной/ою", "со многим/ими"; "с/со всадниками", "с встревоженным
духом;
г) "С" и перед "г+согласная", кроме "со/с гласом";
д) "С" и перед "д+согласная", кроме "со двора", "со дна/дня/дней",
"со дщерью"; также "со/с духом";
з) обычно "С", но перед "з+согласная" чаще "СО": "со зверем/ями" --
при "с зверскою яростью"; "со звуком/ами"; "со злодеями/злостью",
"со злою женою" "со злыми головами", "со злых путей" --
но "с злым намерением"; "со знаменами", но "с знанием"; также
"с здравым учением";
к) "С" и перед "к+согласная", кроме "со/с креста";
л) "с л+гласная" и "со л+согласная": "со лживыми устами" -- хотя
"с лжепророками"; "со львом/львами";
м) "С" и перед "м+согласная" (с младенцем/ами) , кроме "со мн... ":
"со мной/ою", "со многим/ими", хотя "со/с множеством"
и "с многочисленным";
с) "с с+гласная" и "со с+согласная" (св, сд, ск, сл, см, сн, сп,
ср, ст, съ) , кроме: "со/с своего места", "с своей стороны" --
при "со своей худой дороги"; "с сказанным"; "с/со славословиями",
"со/с словами", "с/со словом", "со/с слугами", "со/с служанками";
"с страшными крыльями" -- при "со страшными лицами", "со страшным
всадником";
т) "С" и перед "т+согласная", кроме "со тщанием"
(при "с тщеславием"), "со тьмами", "со/с тьмою";
х) "С" и перед "х+согласная", кроме "со Христом" --
при "с храбрыми", "с храмом";
щ) обычно "СО" (из-за старого двухзвучного произношения Щ = [шт]?) :
"со щитом", хотя "со/с щитами".