пятигорск это кавказ?

Не, это где-то между Индонезией и Парижем.

Да.
Ставропольский край г. Пятигорск с 19 января 2010 года является центром Северо-Кавказского федерального округа

Конечно, дА!

Пятиго́рск — город-курорт в Ставропольском крае Российской Федерации. Административный центр муниципального образования город-курорт Пятигорск. Крупнейший (по численности населения) город Кавказских Минеральных Вод и второй в крае после Ставрополя.

С 19 января 2010 года — центр Северо-Кавказского федерального округа (единственный из центров федеральных округов, не являющийся административным центром субъекта Федерации).