Может ли двояковогнутая линза фокусировать параллельный падающий на нее световой пучок?

Это зависит от материала линзы и окружающей среды, во-первых.
Во-вторых, даже стеклянная линза в воздухе фокусирует параллельный пучок в своём мнимом фокусе.

нет, пройдя через линзу, пучок станет расходящимся!
А вот отражённая от границы раздела сред часть пучка (2-5%) будет сфокусирована, как вогнутым зеркалом.