Как правильно: они надеются или они надеятся

"Надеяться" - глагол первого спряжения (первое спряжение - это глаголы, которые в инфинитиве не кончаются на "-ить", кроме исключений, которые учат наизусть). В третьем лице множественного числа у глаголов первого спряжения окончание -«ут» (- «ют»), то есть "они надеЮтся!".

они надеЮтся, надеяться на что-то на кого-то...