должна ли аварийная служба писать акт о затоплении? . .

С какого перепугу"аварийка"бумагами занимается, она только устраняет течь.
В случае залива квартиры, необходимо обратиться к с заявлением в ЖЭУ (ДЭЗ) – к технику-смотрителю, он составит акт (в нашем случае - акт залива квартиры) . Это первый и основной документ, который потребуется пострадавшему для последующего возмещения ущерба от затопления. Представителей эксплуатирующей организации нужно вызвать в любом случае, даже если следы затопления не так заметны - они могут проявиться позже. При составлении акта затопления квартиры следует как можно точнее зафиксировать все повреждения.

Контора пишет.

Акт о затоплении квартиры должно составлять Ваше ЖЭУ, сегодня рабочий день, вызывайте специалистов.

нет, акт это прерогатива эксплуатирующей организации, на основе журнала заявок аварийной службы, т. е. в акте описывается что обнаружено аварийной службой, причина и что предпринято ими