Для чего нужна матрица Грама? Какой смысл её существования?

В википедии приведен хороший пример. Если есть базис векторов е1..еn и известны все длины проекций какого-либо вектора по этому базису, то система вида ГX=Y позволит получить коэффициенты разложения вектора по этому базису.

(Г -- матрица Грама, Х -- скалярные произведения, Y -- искомые коэффициенты разложения)