как решить такое : a^2(b + c)^2 + b^2(a + c)^2 + c^2(a + b)^2 + (a^2 + b^2 + c^2)(ab + bc + ca) = ? ,если a + b + c = 0

Question

как решить такое : a^2(b + c)^2 + b^2(a + c)^2 + c^2(a + b)^2 + (a^2 + b^2 + c^2)(ab + bc + ca) = ? ,если a + b + c = 0

николай фоменко Мыслитель (7352), закрыт 10 лет назад

я здесь делал так : b+c = -a ; a+c = -b ; a+b = -c и подставлял ...но там потом выходит a^4 + b^4 + c^4 ...и a+b+c подносил до квадрата ...но это похоже тоже ничего не дает ((

Answer 1

Выражение симметрическое …
Основная теорема теории симметрических многочленов гласит, что любой симметрический многочлен может быть представлен единственным образом в виде многочлена от основных симметрических многочленов.
σ1 = a+b+c; σ2 = ab + bc + ca
σ3 = a*b*c

a^2*(b + c)^2 + b^2*(a + c)^2 + c^2*(a + b)^2 +
(a^2 + b^2 + c^2)*(a*b + b*c + c*a) =
= (a^2*b + a^2*c + b^2*c+ b^2 *a+c^2*b + c^2*a +a*b*c)* (a+b+c).
Легко проверяется . А так как a+b+c=0 и все выражение =0.

Answer 2

ноль получится, плохо подставлял видать:

Answer 3

Скачай программу "Лови ответ", получишь поэтапное решение любого примера!

Answer 4

Отлично так и запишем: c=-a-b.
Тогда подставим:
a⁴+ b⁴+(a+b)⁴+(a²+b²+(a+b)²)(ab-(a+b)²)=a⁴+b⁴+(a+b)⁴-(2a²+2b²+2ab)(a²+b²+ab)=a⁴+b⁴+(a+b)⁴-2(a²+b²+ab)²=2a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+2a⁴-2a⁴-2b⁴-2a²b²-4a³b-4a²b²-4ab³=0