как проверить безударную гласную в слове отворить

Если слово написано без ошибки (т. е. отворить = открыть) , то действительно "затвор". Или "затворник", что ближе по смыслу и понятнее. В древнерусском языке было слово воръ (забор, ограда) , от которого возник глагол ворити (запирать) . С помощью приставки от- от него был образован современный глагол "отворить". Противоположный по смыслу глагол "затворить" в древнерусском языке сначала имел вид заворити (приставка за- с тем же корнем вор-). Но по созвучию с "отворить" в его корне дополнительно появился звук т, откуда современное написание. Соответственно, теперь в этих словах выделяют корень твор- и приставки о- и за-.

Если же имелось в виду "отварить" = приготовить путём варки - то, как Вам уже ответили, "вар", "варка" и так далее.

А вот слово "ворот" для проверки не годится. В словах "отворить" и "ворота" один и тот же исторический корень вор-, обозначавший огораживание и запирание. Тогда как слово "ворот" связано тесным родством с глаголами "вертеть", "вращать". Это уже совсем другой корень, хотя и очень похожий.