Доказать неразрешимость уравнения. Доказать, что 19х³-17у³=50 неразрешимо в целых числах.

Question

Доказать неразрешимость уравнения. Доказать, что 19х³-17у³=50 неразрешимо в целых числах.

Михаил Ужов Эксперт пока не указал должность 10 лет назад

Дополнен 10 лет назад

Уравнение 19x^3-17y^3=50

Answer 1

Тут и доказывать особо нечего.
Делаем замену p=x^3, q=y^3
Получаем диофантово уравнение
19p-17q=50
Решая, получаем p=59 q=63 (долго печатать, не буду приводить решение)
Оба корня не могут быть представлены как кубы целых чисел => уравнение не имеет решения в целых числах

Михаил УжовAmino – это сеть сообществ, в которых можно искать и обсуждать то, что нравится именно тебе! (157895) 10 лет назад

Диофантово уравнение имеет бесконечно много решений. Вы же привели только одну пару.
Увы, не доказано.

Михаил УжовAmino – это сеть сообществ, в которых можно искать и обсуждать то, что нравится именно тебе! (157895) 10 лет назад

Для любого натурального N: N³≡0(mod 9), либо N³≡-1(mod 9), либо N³≡1(mod 9).
Для 19x³: 19x³≡0(mod 9), либо 19x³≡-1(mod 9), либо 19x³≡1(mod 9)
Для 17y³: 17y³≡0(mod 9), либо 17y³≡1(mod 9), либо 17y³≡-1(mod 9)
Иными словами, выражение слева может иметь, при делении на 9, остатки 0, 1, 2, 7 или 8
Остаток от деления 50:8 равен 5.
И никаких диофантовых уравнений.

Гений (81637) Я находил это решение тут Поэтому и не привел его.)

Answer 2

Vasily Berezin Просветленный (36744) 10 лет назад

ну нарисовать линию решения в координатах икс-игрек, и посмотреть, почему она в целые клеточки не попадает....

Михаил УжовAmino – это сеть сообществ, в которых можно искать и обсуждать то, что нравится именно тебе! (157895) 10 лет назад

Вот именно «почему» и надо доказать.
Методами теории чисел.

Vasily Berezin Просветленный (36744) народ теорему ферма досихпор нормально доказать не может етими методами, а вы про какую-то бяку тут спрашиваете :))

Михаил УжовAmino – это сеть сообществ, в которых можно искать и обсуждать то, что нравится именно тебе! (157895) 10 лет назад

Разбирайте, если интересно:
Для любого натурального N: N³≡0(mod 9), либо N³≡-1(mod 9), либо N³≡1(mod 9).
Для 19x³: 19x³≡0(mod 9), либо 19x³≡-1(mod 9), либо 19x³≡1(mod 9)
Для 17y³: 17y³≡0(mod 9), либо 17y³≡1(mod 9), либо 17y³≡-1(mod 9)
Иными словами, выражение слева может иметь, при делении на 9, остатки 0, 1, 2, 7 или 8
Остаток от деления 50:8 равен 5.

Vasily Berezin Просветленный (36744) а почему не умножаются ваши остатки на 17 и на 19....не очень как-то доходчиво....

Answer 3

Александр Жуков Ученик (138) 7 лет назад

....