как уменьшить в размере цигейковую шапку?

легче увеличить голову!

В меховое ателье отдайте. Больше никак.

протянуть тонкую резинку под подкладкой

ушейте подкладку-и все дела! (если, конечно, шапка сшита не на валуева) ))))

еще к подкладке, если она есть, пришивают валик сложенной в несколько раз ткани. Если цигейка внутри, можно попробовать подержать над паром несколько раз - может подсядит.