Как правильно пишется встану поутру или встану по утру?

Конечно слитно)) )

Встану поутру (наречие)

По раннему утру прошелся туман (предлог + существительное) .

Нельзя же сказать, по какому утру вы встанете)))) )

А как пишется поутру пойти в лес.

на сайте gramotei.cerm.ru пишется слитно

Если это время суток -Ветер по утру был сильнее, чем вечером. То отдельно.

Если выражено наресчием-Поутру мы бегали купаться на речку. То вместе.