Есть ли число которое в квадрате будет отрицательным?
Сколько угодно. Все мнимые числа (есть такой класс чисел).
Просто определяется, что квадратный корень из минус единицы - новое число, называемое мнимой единицей. Умножая ее на действительные числа, получаешь сколько угодно других мнимых чисел, каждое из них при возведении в квадрат даст отрицательное число. Складывая с обычными (вещественными) числами, получаешь комплексные числа, на них верхом сидят вся электротехника, радиотехника, теоретическая физика...
Вообще-то у комплексных чисел нету знака. 5-8i -- положительное или отрицательное? А -5+8i? Комплексное число в сущности -- точка на плоскости, какой знак у точки? Так что если мы работаем с комплексными числами, даже если у числа мнимая часть равна нулю, или действительная, мы не можем ничего говорить про знаки, только если речь не идёт про соответствующие операторы re(z) и im(z). (0+1*i)^2=-1+0*i. Примерно так же нету знаков у векторов.
условно обозначается буквой i = корень с -1
на самом деле, такого не существует, но это условное обозначение помогло решить некоторые задачи и доказать некоторые утверждения, ранее не имевших доказательств
Комплексные числа :-)