доказательство необходимости расширения множества рациональных чисел.

"Необходимость введения" не доказывается, а объясняется его польза: в множестве рациональных чисел операция возведения в степень не всегда обратима. Например, уравнение x^2=2 в этом множестве не имеет решений. Расширив это множество до всех иррациональных чисел, получаем, что дробные степени любого положительного числа существуют. Потом оказалось, что иррациональные числа - это не только корни алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, но и числа другого типа - "трансцендентные" числа, например, ПИ.
Советую придумать (или найти и прочитать) доказательство иррациональности корня из 2.