Объясните, пожалуйста!

Предполагаю, что вы знаете, что такое векторное поле и его силовые линии (в школе были такие картинки).
Так вот, на пальцах, дивергенция (по лат. - расходимость) характеризует расходимость силовых линий вблизи некотрой области пространства (в котором существует поле). Дивергенция - это скалярная величина (то есть число). Если она больше нуля - то силовые линии расходятся, если меньше - то сходятся. Наличие ненулевой дивергенции указывает на то, что у поля есть источники (на которых начинаются и заканчиваются силовые линии). Пример поля с дивергенцией,но без ротора - поле неподвижного электрического заряда.
Ротор (в русской литературе есть еще хорошее старое название - вихрь) - характеризует завихрение поля вблизи некоторой области пространства. Ротор - это осевой вектор, если смотреть с конца этого вектора, то силовые линии поля завихряются против часовой стрелки. Наличие ненулевого ротора означает наличие замкнутых силовых линий. Пример поля без дивергенции, но с ротором - любое магнитное поле.
Если и ротор и дивергенция равны нулю, соответственно нет ни расходимости, ни завихрения, то поле - равномерное и однородное (одинаковое во всех точках пространства вблизи данной точки)

Градиент - это операция, не относящаяся к векторному полю, он относится к полю скалярному (числовому). Градиент - это вектор, указывающий направление наибольшего возрастания поля из данной точки. Например, если ваше поле - это высота над уровнем моря, то градиент - это направление самого крутого склона. Если задано некоторое числовое поле, то градиент во всех точках образует поле градиента - векторное, и с нулевым ротором.