Решение систем уравнений второй степени 9 класс.

существует множество видов СУ второй степени.
все они решаются как правило либо способом подстановки либо способом замены переменных

Иногда их можно решить методом сложения. Бывают случаи когда такие системы решаются эксклюзивными методами (при помощи неравенств или на основании свойства монотоности или непрерывности функций)

1 ПРИМЕР:

Это случай когда одно из уравнений системы - линейное, а второе уравнение квадратное.

x+y=4

xy=3

Такие системы решают методом подстановки:

x=4-y

y(4-y)=3

Упрощаем второе уравнение (оно как правило получается квадратным)

решаем его, и находим либо одно решение, либо два либо ни одного.

После ищем значения х.

2 ПРИМЕР:

Это случай, когда оба уравнения есть уравнения второй степени:

2.1 ПРИМЕР:

xy=4

x^2-y^2=1

Здесь выражаем переменную х либо у из первого уравнения, подставляем во второе, упрощаем его (там как правило тоже получается уравнение второй степени) решаем полученное уравнение и после находим значения у (или х) .

2.2. ПРИМЕР:

x^2+y^2=5

x^2-y^2=1

Это тот пример где нужно использовать метод сложения. Складываем почленно два уравнения и члены y^2 сократятся, получим уравнение с одной переменной (опять же как правило квадратное) .

2.3 ПРИМЕР:

(x+y)^2-xy=8

2(x+y)-(xy)^2=5

Здесь случай, когда уместен способ замены переменной:

Пусть х+у=а ху=b

Тогда получим систему

a^2-b=8

2a-b^2=5

Дальше решаем способом подстановки.

2.4. ПРИМЕР:

(x+y)^2+5=2

xy-6=1

Здесь применяем способ эксклюзивный:

выражение (x+y)^2>=0 при любых х и у. Следовательно, (x+y)^2+5>=5 при любых х и у.

То есть это выражение не может равняться числу 2 ни при каких х и у - система не имеет решений.

ЭТО ОСНОВНЫЕ СЛУЧАИ КОТОРЫЕ МОГУТ ВСТРЕТИТЬСЯ ПРИ РЕШЕНИИ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ!! !

P.S! Конечно, бывают системы которые школьными методами не решаются, например

x^2*y+xy+2x^2*y^2=0

3xy-4x^2y-y^2=0

Здесь непонятно как решать, или способом подстановки или замены переменных

Хотя эта система имеет решение (0;0). Такие системы решают приближенными методами типа итерационными (но они рассматриваются в курсе высшей алгебры)