В самом городе вряд ли есть такие места, но посмотрите Отель "Де ла Мапа"
https://hotel-de-la-mapa.ru/price У вас больше шансов найти недорогое жилье на Пионерском проспекте, в Витязево. Мы в Анапе всегда снимали апартаменты, завтрак несложно и самим приготовить, либо в ближайших кафе, если море штормит - всегда под боком аквапарк. Посмотрите в Витязево вот этот вариант или рядом, там есть бассейн в непосредственной близости - Омега
https://omega-anapa.ru/