Решить интеграл (sin(x) / 1+cos(x)+sin(x))dx

Чтобы решить данный интеграл, необходимо использовать метод подстановки. Введем новую переменную:

t = 1 + cos(x) + sin(x)

Тогда:

dt/dx = -sin(x) + cos(x)

Подставляя выражение для sin(x) из исходного интеграла, получаем:

sin(x) = t - 1 - cos(x)

Теперь наш интеграл примет вид:

∫ [(t - 1 - cos(x)) / t] dt

Далее произведем замену переменных:

dx = dt / (cos(x) - sin(x))

Подставляя это выражение в интеграл, получим:

∫ [(t - 1) / t] dt

Этот интеграл легко решается с помощью метода подстановки u = t:

∫ (1 - 1/u) du = u - ln|u| + C = t - ln|t| + C

Возвращаясь к исходной переменной x, имеем:

∫ (sin(x) / (1 + cos(x) + sin(x))) dx = (1 + cos(x) + sin(x)) - ln|1 + cos(x) + sin(x)| + C

Таким образом, решение интеграла имеет вид:

(1 + cos(x) + sin(x)) - ln|1 + cos(x) + sin(x)| + C

где C - произвольная постоянная интегрирования.

JND.