задание по линейной алгебре про вектора

Question

задание по линейной алгебре про вектора

entil Знаток (481), на голосовании 9 лет назад

даны четыре вектора. необходимо установить (доказать) линейную зависимость этих векторов. что нужно для этого сделать? правильно ли, что можно просто найти ранг матрицы, составленной из этих векторов и, если он меньше количества векторов, можно утверждать, что вектора линейно зависимы? или это доказывается иначе?

Дополнен 9 лет назад

вектора - (2 5 9) , (7 8 -9), (9 0 0), (3 -50 -41)

Answer 1

Неясно, какие векторы, и в каком виде заданы. Если трехмерные, то 4 вектора всегда линейно зависимы.
Повторяю: 4 трехмерных вектора линейно независимыми быть не могут.

Answer 2

В трехмерном пространстве наибольшее количество линейно независимых векторов равно 3. Выразить 4-й вектор как линейную комбинацию 3-х других можно с помощью метода Жордана - Гаусса. Для этого проводят эквивалентные преобразования матрицы, составленной из компонентов этих векторов, для получения единичной матрицы третьего порядка. Например, определитель матрицы, составленной из первых трех векторов, равен -1053. Это означает, что 4-й вектор можно выразить, и при этом единственным образом, через первые три вектора. Так, в базисе из первых трех векторов 4-й вектор будет иметь такие координаты:
3 288/655, -2 11/117, -6 76/117