Нужно найти число, равное квадрату искомого трехзначного числа и кубу суммы цифр этого числа. Заранее благодарен.

Формулировка задачи дважды неудачная.
1) Если нам надо найти число, то оно и будет искомым. А здесь почему-то искомым называют какое-то другое трехзначное число. Это явное противоречие. Наверное, должно быть так:
"Нужно найти число, равное квадрату некоторого трехзначного числа и кубу суммы цифр этого числа"
2) А к какому числу относится слово "этого"? Тут ведь можно трактовать по-разному... а) к тому, которое трехзначное, б) к тому, которое надо найти.

Вариант а) я рассмотрел, посчитал и пришел к выводу, что он не имеет решения. Вот новая формулировка задачи и доказательство.
Существует ли число, равное квадрату некоторого трехзначного числа и кубу суммы цифр этого же трехзначного числа?
РЕШЕНИЕ
Минимальное трехзначное число в квадрате дает 10000.
Сумма цифр любого трехзначного числа не может быть больше 27, а 27 в кубе равно 19683.
Значит, этот квадрат, он же куб должен лежать в пределах от 10 000 до 19 683. Смотрим таблицу кубов и выписываем все такие кубы:
10648, 12167, 13824, 15615, 17576, 19683. Если какое-то из них подходит, то оно одновременно должно являться квадратом трехзначного.
Но ни один квадрат НЕ МОЖЕТ оканчиваться на цифры 8, 7, 3. Исключаем из списка такие числа. Остаются
13824, 15615, 17576. Проверяем их на "квадратность". Подходит только 15625 = 125 в квадрате. И оно же равно 25 в кубе.
Все хорошо, но НЕ совпадает необходимый критерий: у числа 125 сумма цифр, к сожалению, равна не 25, а только 8.
вывод: такого числа нет. А вариант б) сложнее, и я не имею ни малейшего желания с ним возиться...

Да, второй вывод: автор задачи - охломон, не смог четко и однозначно её сформулировать.