Ох, попробую рассказать кратко на примерах! Но получится ли? Уж очень объёмное правило!

1. В отрицательных предложениях пишется НЕ (Мы НЕ пойдём сегодня в кино).
2. В отрицательных предложениях для усиления значения - НИ, если в предложении уже есть одно отрицание НЕ (Гость НЕ сказал НИ слова. Частицу НИ иногда можно "опустить" без потери смысла).
3. В отрицательных предложениях при отсутствии предиката (сказуемого), которое можно восстановить - НИ (В поле НИ кустика = В поле НЕТ НИ кустика. В предложении уже подразумевается одно отрицание).
4. В утвердительных предложениях ВСЕГДА НЕ (Ученик НЕ мог НЕ пойти в школу. НЕ + НЕ= ДА // Ученик обязан пойти в школу).
5. В придаточном времени после союза пока - НЕ (Учи, пока НЕ выучишь).
6. Для утверждения НИ (Сколько он ни думал, а ничего не мог придумать. Частицу НИ можно убрать = Сколько ДУМАЛ, а ничего не придумал).
7. При повторяющемся союзе НИ-НИ (Ни в лесу, ни в поле мы его не нашли).

!!! Особого внимания требуют предложения с обобщающим значением. БОльшую часть таких предложений можно заменить конструкциями со словами ВСЕГДА, ВЕЗДЕ, ОЧЕНЬ, ВСЕ.
Так вот в таких предложениях частицы НЕ и НИ разграничивают следующим образом:
1. В простых предложениях НЕ (Кто только НЕ знает Пушкина = ВСЕ знают Пушкина).
2. В придаточных - НИ (Когда Ни зайду к нему, он всегда занят = ВСЕГДА захожу к нему, и он всегда занят).

Кроме того, необходимо запомнить следующие сочетания с НИ и НЕ:

1. В сочетаниях чуть НЕ, чуть-чуть НЕ, чуть ли НЕ, уж НЕ, едва ли НЕ, едва НЕ, едва-едва НЕ, пока НЕ, только НЕ.
2. В оборотах что бы то НИ было, что НИ шаг, куда НИ шло, откуда НИ возьмись, во чтобы то НИ стало, как НИ в чем не бывало, что НИ говори, в каком бы то ни было, а также в устойчивых словосочетаниях: ни пуха ни пера, ни жив ни мертв, ни днем ни ночью, ни конца ни края и т.д.
Запятая между частями этих оборотов не ставится!
3. В составе сложных союзов
не то…, не то
не только…, но и
если не...,то
не то чтобы не…, но и

НЕОБХОДИМО РАЗЛИЧАТЬ СОЧЕТАНИЯ! Написание этих сочетаний НЕ противоречит правилу, так что их можно не заучивать наизусть!

а) ни один (никто) — не один (много): ни один (никто) не пришел на встречу; он бывал у меня не один (много) раз;
б) ни разу (никогда) — не раз (много раз): я ни разу (никогда) не была в Париже; он не раз (много раз) бывал в Париже;
в) нимало (= ничуть) — немало (= много): Его нимало (ничуть) не смущало недовольство хозяина. Он немало (много) интересного знал о птицах.

И на "закуску"!

В неопределенных и отрицательных местоимениях, а также в отрицательных наречиях под ударением пишется приставка НЕ-, без ударения - НИ.

Правописание выражений:
не кто иной, как... -никто иной не...;
не что иное, как... -ничто иное не...

Правописание сочетаний:
ему все нипочём; это ни к чему; остался ни с чем; остался ни при чём; я тут ни при чём.