Подскажите, пожалуйста, породу собаки, шерсть которой не вызывает аллергию?

Пудель.
Вообще аллергию дает не шерсть, а отшелушившиеся частички кожи, сало и т. д.
У пуделя другое строение сальных желез. Волос практически не смазывается. Поэтому пуделя можно мыть как угодно часто. Хоть раз в три дня. Если никак за собакой не ухаживать, то любая будет давать аллергию.
У голых собак своеобразное устройство кожи, поскольку нет волос. И поэтому отшелушивающаяся кожа падает везде вокруг, а не остается внутри под шерстью, как у шерстяных собак.

А вообще, попробуйте прийти с тем человеком у которого аллергия в дом, где щенки той породы, которую вы выбрали. Самая сильная аллергия бывает на суку со щенками. У нее активизируются все гормоны. Если там аллергии не будет, значит вам порода подходит. Если это ребенок, то я бы вообще подождала бы и завела щенка позже, когда ребенок подрастет.