Что такое подоплека?

Подоплека - то же, что подоплечье, т.е. то, что подкладывается (м.б., подшивается - фиг их, портных, знает) под оплечье.
Оплечье - деталь одежды, накладываемая на плечи (см. у Ожегова);
кажется, в современном одёж-дизайне это слово не употребляется, зато в отношении фелоней и др. старинных одеяний - сплошь и рядом.
Плеко - по Шанскому есть диалектный редериват от "плечо".
Этимологи утверждают, что слово произошло от подкладки рубахи - "под" и "плечо"

В Рязане осталась еще барама, оплечье архиерейских риз, а в смол. барма, риза священника. Бармица стар. оплечье, походившее на отложное ожерелье; кольчатый доспех на оплечье, на плеча, грудь и лопатки.