Есть ли быстрый поисковик на Mail.Ru, где находится только строка поиска?

go.mail.ru
а так со стартовой страницы щелкнуть на ответ ,
то слева будет именно он

спутник майл ру

а че в верхнем углу не устраивает?

Внимательно посмотри на стартовий / главной / странице www.mail.ru , в правом верхнем углу....

Да есть можешь поставить с сайта строку поиска себе в браузер