Что вообще хотел добиться генерал Корнилов от керенского для укрепления страны

Разные цели были у этих людей. Если Лавр Корнилов из последних сил пытался удержать Россию на краю пропасти, куда бессовестные политиканы всех мастей её настойчиво подталкивали, то задача Александра Керенского была куда прозрачнее и циничнее - любым путём удержаться у власти. И, во имя исполнения этой цели, Керенский предал генерала Корнилова, предал именно в тот момент, когда шансы на спасение у России ещё оставались.
Животный страх, что с установлением диктатуры Корнилова, сам Александр Фёдорович уже будет не у дел, заставил Керенского объявить Лавра Корнилова мятежником и начать раздачу оружия отрядам Красной Гвардии. Именно этим оружием и были вооружены отряды, в скором будущем штурмовавшие Зимний дворец.

Предательство никогда не остаётся безнаказанным.
История, рано или поздно, всё расставляет по своим местам. И вот уже доброе имя Лавра Корнилова, долгое время подвергавшееся шельмованию, вновь в ряду выдающихся имён лучших сынов России. Чего не скажешь об Александре Фёдоровиче Керенском.