Как правильно пишется слово - рАстут или рОстут? насколько я понимаю, проверочное слово р0ст. . ?

В русском языке есть правило относительно безударных корней "-рос-" и "-раст-". Так, в корнях без Т "-рос-" пишется О, а в корнях с Т "-раст" - А.
Примеры: расти, рослый, растение.
Исключения: росток, Ростов, Ростислав.