Можно ли расписаться в РФ гражданам Украины с Луганской области?

ЗАГС- это запись актов ГРАЖДАНСКОГО состояния, так что стоит уточнить в самом ЗАГСе Вашего района.

Если Вы с Луганской области, Вам прежде всего стоит озаботиться получением статуса беженца или по иному узаконить своё нахождение документально.

можно, если они законно находятся в РФ. Паспорта должны быть переведены на русский язык и у обоих должны быть справки о том, что они не состоят в браке

Можно, они когда приехали в Россию, то до хрена подписывали бумаг и ещё будут, если не лень.

только в посольстве

Не знаю, я в Дании расаисан. Там всех, со всеми расписывают, но, надо три дня прожить