Сколько книг получил каждый из восьми победителей?

Question

Сколько книг получил каждый из восьми победителей?

Lavanda Просветленный (47965), закрыт 15 лет назад

По итогам математической олимпиады восемь победителей получили 97 книг. За более высокое место давали больше книг. Известно, что все победители получили разное число книг, причем за восьмое место книг было вручено не менее половины числа книг за первое место. Сколько книг получил каждый из восьми победителей?

Найдите все решения и покажите, что других нет.

Answer 1

Ура! Подобрала
8
9
10
12
13
14
15
16

8 и 16 изменить нельзя, т. к. в этом случае не будет соблюдено условие, что последний получил не меньше половины первого, а за более высокое место - больший приз.
Далее, 9,10 -нельзя меньше, т. к. не будет соответствовать условию, 12 нельзя уменьшить до 11, т. к. в этом случае чтобы получить далее нужное число, надо будет прибавить еще 2, а т. к. числа последовательны, то "окна" для двух дальше нет.

Все это объясняю не математически, но для меня это вполне понятная логика :-)

Answer 2

пусть х книг давали за первое место, тогда за восьмое место давали >=х/2 книг
докажем, что х>=16.Докажем методом от противного, пусть х>=15.Если х=15 тогда им максимум досталось по 15,14,13,12,11,10,9,8. общее количество книг равно 92, а должно быть >=97.Если х будет меньше, то общее количество книг тоже будет ещё меньше. Значит х>=16
Докажем, что х не больше 16.Докажем методом от противного, пусть х>=17.Если х=17, то минимум им достанется по 9,10,11,12,13,14,15,17.Общее количество книг 101, а должно быть <=97.Если х будет больше, то общее количество книг тоже будет больше. Значит х<=16
х=16 они могли получить по 8,9,10,11,12,13,14,15,16 книг сложим все эти числа и получим 108, а нам надо 97, значит 11 книг никто не получил.
В итоге получается, что они получили 8,9,10,12,13,14,15,16