Помогите! Сотрудник уволился и через короткое время умер,

По требованию - да

Нет, не обязаны. Обязаны будете только по запросу ГИТ, суда, прокуратуры и иных госорганов. Дать такие сведения это распространение ПД.
Отказать можно лишь на основании того, что её и работодателя никаких отношений, в т. ч. и договорных не связывает.

если подтвердит родство факт смерти. иначе может затребовать по суду

Зачем ей это? "Потерю кормильца" оформляет? Так предоставьте, за попраные права и свободы, с вами судится не кому. Потенциальный потерпевший жаловаться уже е будет.

Согласен с Евгением. Его жена не имеет никакого отношения к работодателю ее умершего мужа, поэтому давать ей какую-либо информацию он не обязан.

Скорей всего ей надо оформлять пенсию на ребенка по потере кормильца, там нужна справка с работы с начислениями зарплаты. Но это все равно запрашивает суд во избежании подделок напрямую запросом на работу.