Еду с внуком (фамилии разные) отдыхать в Анапу, надо письменное согласие одного из родителей?

да

Внутри страны согласия не требуется.

Собственно для поездки - не надо, но отель, в котором Вы будете жить, вполне может потребовать подобный документ. Вы же, юридически, ребенку никто, т. е. не родитель и не опекун, а по тому и нести ответственность за него права не можете. Мне, во всяком случае, такие прецеденты известны (г. Сочи).
К примеру, ребенок попортит имущество отеля, кто за это будет платить? Родители вполне могут заявить, что они и знать ничего не знают, они ведь ничего не подписывали, а с любого другого человека взыскать что-либо за проделки чужого чада просто невозможно.
Я бы, на Вашем месте, заранее связался с отелем и уточнил этот вопрос.

Для поездок внутри страны - нет, не нужно.

если будете ехать на поезде могут спросить кто вы для внука. Поэтому лучше иметь нотариально заверенное разрешение от ОБОИХ РОДИТЕЛЕЙ.