пустят ли за границу со старым загранпаспортом

нет

Ваш загранпаспорт будет действовать, внутренний уже нет

Делай новый загранпаспорт и бери с собой оба.
Так приходится делать и когда истекает срок паспорта, а в нем долгоиграющая виза.

На сколько я помню для выезда заграницу внутренний паспорт не нужен, а загранпаспорт у вас действительный. Вам в паспорт при замене поставят штамп с данными на старый паспорт.

ВСЕ документы Ваши СРАЗУ ЖЕ после смены фамилии, включая внутренний паспорт и загранпаспорт, становятся не действительными и подлежат замене. На замену внутреннего паспорта даётся месяц и только за несвоевременную замену этого документа Вас могут привлечь к ответственности. Все остальные документы, включая загранпаспорт, не являются обязательными для гражданина (можно вообще всю жизнь прожить без загранпаспорта, водительского удостоверения, банковских карт и т. д. ) и ответственность за их "незамену" не предусмотрена.
Но в стране всеобщего пофигизма и беззакония (в России то есть) , сотрудники ФМС обычно не спешат подавать сведения в Погранслужбу ФСБ РФ о ставших недействительными загранпаспортах, а потому многие наши граждане по таким недействительным документам продолжают ездить в безвизовые страны и порой очень долго. В страну же, куда надо предварительно визу оформлять, никто Вам её не даст, разумеется, поскольку необходимо оба паспорта предъявлять. У Вас виза уже оформлена и, в принципе, никаких проблем при въезде на Кипр со старым, не действительным ЗП, не будет.
Однако, даже в случае поездки в безвизовую страну или в страну, виза в которую у Вас уже есть, никто не даст 100% гарантии, что ФМС вдруг не начнёт блюсти закон и Вас не тормознут на границе. Денег, потраченных на поездку, в этом случае Вам уже никто и никогда не вернёт, так что едете на свой страх и риск.
Кроме того, если вдруг за рубежом с Вами случается какая-то неприятность, которая потребует участия наших консульских служб, местных властей или даже просто страховых компаний, то факт Вашего незаконного пребывания за рубежом очень быстро установят, а это, как минимум, отказ в выплате страховки. а максимум - вполне реальный тюремный срок в стране, в которую Вы проникли по недействительному документу. Оно Вам надо?

Такая же ситуация была. Только мы прилетали за день до окончания срока подачи документов.
Когда Вы вылетаете?
Вы по старому заграннику можете выехать еще 1 раз, но как только вы сдаете русский паспорт на замену - автоматически все документы на девичью фамилию становятся не действительными.
Поэтому, если вы прилетает после истечения срока подачи документов (а именно, после 18.08.) то лучше вам подать документы с опозданием (заплатить штраф - он небольшой), чем иметь реальные проблемы с въездом/выездом на границе РФ.