Мы хотим новый пароль на зарезервированный за нашей школой почтовый ящик. Старый не оставлен уволившимся.

это вам скажет лишь тот злосчастный админ...

Тут несколько способов.

Если ящик предоставил провайдер (поставщик услуг) , то вопрос к администрации провайдера с объяснением проблемы поможет вам. Они пароль знают (сами ставили) и предоставят или поменяют.
Если же это интернет-почта (типа @mail.ru), то на каждом таком сайте есть функция "Забыл пароль", "Восстановление пароля" и т. п. Если не поможет – тоже звонок в службу поддержки с объяснением ситуации.